Pour l'instant, je tiens à jour une liste des personnes qui ont contribué dans la section « Auteurs, contributeurs, sources et remerciements». Cette liste est pour l'instant à la page 69, au début de l'introduction, après les index, tables des matières et tout ça.

Je me demande si il ne faudrait pas aller un peu plus loin et directement écrire sur la page de couverture le nom au moins des personnes ayant produit un patch[1], c'est à dire celles qui ont effectivement produit du texte.

En tout cas, n'hésitez pas à ajouter vos noms là où vous avez contribué ou sur la page de titre.

[1] en évitant l'humour de matheux avec le patch auto-référentiel qui consiste à ajouter son nom.

Les 4000 fichiers en frontal dans un répertoire unique est un frein assez important à la compréhension et la prise en main de ce super projet.

Comment préfères-tu procéder pour qu'on réorganise tout ça ?

On commence par quelques dossiers dans l'ordre de ton plan ?

1. Introduction
2. Ensembles de nombres.
3. Théorie des groupes
4. Anneaux

...

Ou tu préfères quelques choses de plus pratique.

• développement
• exo
• correction
  *images

Il faudrait que je trouve le temps de le faire moi-même, mais en attendant, si jamais quelqu'un veut s'y atteler avant : la topologie sur l'espace des fonctions C^infty à support compact d'un ouvert Omega n'est pas la bonne (en tout cas, ce n'est pas la topologie standard ; elle n'est par exemple pas complète). Parmis les ressources qui donnent la bonne topolgie, on peut citer "Functionnal Analysis" de Rudin, "Functional Analysis" de Yosida, ou pour avoir un document disponible gratuitement en ligne, le polycopié de Frédéric Paulin (pp. 26 et 74 du fichier suivant, mais il n'y a que la définition, pas les théorèmes).
Topologie et calcul différentiel.pdf

Note : cette erreur n'est pas grave pour la suite du frido parce que la notion de convergence des suites qui suit est la bonne (il y a donc probablement aussi une erreur dans la démonstration du théorème 31.11).

Pour entamer la discussion, voici trois manières de présenter la topologie:

1. construire à la main une base de voisinage de 0. C'est la méthode Rudin. En gros, on considère B l'ensemble des parties W de D(Omega) qui sont convexes, équilibrées, et telles que l'intersection de W et de D_K(Omega) soit ouvert pour la topologie de D_K(Omega), et on dit que B est une base de voisinages de 0. Il faut alors vérifier qu'on a bien le droit de faire ça, et dérouler les propriétés de la topologies à partir de ça.
2. construire à la main les semi-normes. C'est l'approche de Paulin. Je vous laisse vérifier la définition p. 26. (Honnètement, je ne connais pas les démonstrations si on prend cette approche)
3. invoquer (et donc développer auparavant) la notion de topologie limite inductive, et dire que la topologie sur D(Omega) est la topologie limite inductive des D_K(Omega). C'est l'approche de Yosida, mais Paulin la mentionne aussi (p. 74). Cette approche semble en fait la plus populaire quand je regarde les livres qui prennent le temps de définir la topologie sur D(Omega) (Yosida, Conway, Reed-Simon...), mais pour être honnête, c'est la même chose que ce que fait Rudin, avec un nom compliqué dessus.

Qu'est-ce qui vous semble le mieux ?

Pourquoi ne définit-on jamais le corps de rupture d’un polynôme à coefficients dans un anneau ? Si A est un anneau, on peut définir un corps de rupture de P€K[X] comme étant un corps contenant A comme sous-anneau dans lequel il existe une racine de P.
D’ailleurs si A est intègre, le corps A[X]/(P) fait l’affaire.

Le problème du corps de rupture d'un polynôme à coefficients dans un anneau, c'est qu'il ne sera en général pas un corps.

• Si l'anneau A n'est pas intègre : aucun corps ne pourra contenir A comme sous-anneau.
• Si A est intègre : A[X]/(P) ne fait pas tout à fait l'affaire : l'anneau A[X] ne sera pas principal (à moins que A ne soit justement un corps), et on ne disposera donc pas du théorème de Bézout permettant de trouver un inverse dans A[X]/(P).

On pourrait cependant se contenter de définir la notion d'anneau de rupture (j'aime bien l'idée, personnellement) mais je n'ai rien trouvé à ce sujet sur google.

Néanmoins, si on veut absolument définir un corps de rupture pour un anneau intègre, c'est possible avec Frac(A)[X]/(P) (où Frac(A) est le corps des fractions de A).

Le volume 1 n'est déjà plus disponible ?

Bravo pour le succès si c'est dû à une grosse vente !
Est-ce que ça va se corriger tout seul (en attendant une ré-impression) ?

Je voulais lancer une demande d'achat auprès de la BU de l'ENS Cachan.

Bonjour,

Il me semble que le Frido n'a pas défini la notation avant de l'utiliser... mon prochain push le mentionnera en "problèmes et choses à faire".

Mais qui dit définir cela dit définir la notion d'infimum, qui n'a pas été fait non plus par ailleurs il me semble...

La partie «outils mathématiques» est un cours que j'avais donné à l'université de Franche-Comté il y a déjà longtemps. Elle est entièrement dupliquée dans la partie "Frido".

M'est avis qu'on peut completement la supprimer.

On peut aussi bien écrire « Soit $f$ et $g$ deux fonctions » que « Soient f$ et $g$ deux fonctions ».
Manifestement tu n'as pas fait ton choix :-) Il serait bien, dans un soucis de consistance, qu'un choix soit fait.
Sans vouloir t'influencer, je note que dans ma bibliothèque, presque tous les auteurs font l'accord (à l'exception d'Arnaudiès et Fraysse dans leur manuel de prépa).

J'ai pas mal utilisé engrafo pour (tenter de facilement) compiler mes articles de recherche de LaTeX en une page web "responsive".
Généralement, ça rend pas mal du tout !
Par exemple : ce PDF devient cette page web.

Penses-tu qu'il puisse être intéressant d'essayer d'obtenir ce genre de choses pour les chapitres du Frido ?
Cela pourrait permettre d'avoir par exemple sur ton site http://laurent.claessens-donadello.eu/frido/chapitre1/ donnant le chapitre 1.

Si tu penses que c'est utile, j'essaierai quand j'aurai le temps.

Dans la note de bas de page 3 en introduction :

"fonte \info{texttt}\quext{Comme celle-ci}"

mazhe/tex/front_back_matter/remerciements.tex

Line 117 in c1ff359

\item[Transparence] Je ne fais pas semblant que ces notes soient parfaites. Les points sur lesquels je ne suis pas sûr, les preuves que j'ai inventées moi-même sont clairement indiqués pour inciter le lecteur à redoubler de prudence. Une liste de questions à résoudre est inclue en la section~\ref{SecooCKWWooBFgnea}. De plus de nombreuses notes en bas de page en fonte \info{texttt}\quext{Comme celle-ci} indiquent des points sur lesquels je doute ou des étapes intermédiaires de calculs que je ne parviens pas à reproduire en suivant mes sources. Lorsque vous voyez une telle note, redoublez de prudence, et allez voir la source.

Je ne sais pas quel changement faire, je ne connais pas par coeur la macro pour faire une note de bas de page en \texttt{...} et pas en sans serif.

Bonjour,

Je ne sais pas comment (ni si) les références vers le bas (a priori non autorisées dans le Frido) sont gérées par le code de compilation, mais...

... y a-t-il quelque chose de prévu pour dire "Oui, là j'ai mis une référence sur des trucs qui viennent après, mais c'est juste pour illustrer"?

Parce que je ne vois rien de particulier lorsqu'on définit la notion de limite, qu'on touche mot des dérivées, dans le code (fichier 185 ligne 33 actuellement).

Q : Est-il possible d'avoir le numéro du volume dans la table des matières de la version imprimée ?

Pour l'instant, la version imprimée est construite par le script en C++ donné dans le répertoire publication/volumes. Le principe est :

• Compilation du document
• rechrche dans le fichier TOC à quelle page comment le chapitre où le second volume doit commencer
• recherche dans le fichier TOC à quelle page commence et fini la TOC
• plein de manipulations de pdf (pdftk) pour créer 3 fichiers contenant à la fois la TOC et les contenus.

Si on veut que la TOC contienne les numéros de volume ...

Soit on insère à la bonne ligne dans mazhe.tex un \renewcommand{thepage} pour y faire écrire le numéro de volume.
Soit on hacke directement le fichier toc pour y ajouter les numéros de volume à côté des numéros de page ou carrément y ajouter une balise qui correspond à \part

Les deux peuvent être scriptés en python sans trop de problèmes, je crois.

Q : qu'est-ce qu'on aimerait avoir dans la table des matières pour indiquer le numéro de volume ?

Salut, dis moi, pourquoi n'as tu pas démontré la règle de l'etau thm 13.155 page 702 ? Y a t'il une subtilité que je ne vois pas et qui rendrait la preuve ardue ?

Bravo pour ce travail c'est super. Le signalement des coquilles te rend service ? Ça t'aide ? Je continue ?

Bonjour,

Juste pour signaler qu'il manque une référence dans le chapitre 41 (p1835) deuxième ligne :

En guise de conclusion, je voudrais vous parler de la constante de Weiner, introduite dans [].

edit : bonus :

La moyenne de tout couple de réels peut être calculée !!!ne!!! divisant leur somme par la
constante de Weiner 2.

edit : oh, je viens de lire et de comprendre

Pour info, la dépèche pour le Frido 2017 est en cours de rédaction sur linuxfr. Si vous voulez y jeter un oeuil, allez-y vite parce que ça ne va pas rester longtemps.

En effet, les fichiers sont déjà envoyés chez lulu.com et thebookedition.com. Lulu a déjà mis en vente et thebookedition est encore en cours de validation. Quand ils auront validé, la publication de la dépèche suivra assez vite.

J'ai remis dans le Frido le chapitre "Développements possibles". Il y a là la liste des leçons du rapport 2014, et des propositions de développements possibles disponibles dans le Frido.

• Il faut compléter la liste. Proposer des développements pour les lecçons non couvertes.
• Je suis sûr que même sans rien ajouter au Frido, certaines leçons peuvent être couvertes.
• Se concentrer sur les leçons qui n'ont pas encore deux développements.

ATTENTION : comme dit dans le texte, ce chapitre est là à titre de "document de travail". Ce sera supprimé des versions publiées à destination de l'agrégation. Il faut tenir compte de ce commentaire

Bonjour.
Il semblerait que le lien http://laurent.claessens-donadello.eu/pdf/mazhe.pdf soit mort... Existe-t-il un pdf déjà compilé du document ?
Merci pour vos efforts.

On utilise à pas mal d'endroits la notion de cardinal d'ensemble (il y a même la macro \Card). Si j'ai bien vu, c'est toujours dans le cas d'ensembles finis, donc on n'est pas trop mal.

Par contre il faudrait une définition.

Dans la section "Quelques résultats de cardinalité", après la "construction" des naturels, il y a une proposition (sans démonstration) qui dit que pour tout ensemble fini E, il existe un unique entier N tel que E soit en bijection avec {1, ..., N}.

Je crois qu'on peut utiliser le N de cette proposition comme définition de cardinal d'un ensemble fini.

Bonjour,

Ça serait super si le livre était aussi disponible au format ebook (ou mobi, etc) pour être consultable sur une liseuse. Il semble exister des outils pour faire cela, par exemple tex4ebook, mais je n'ai pas encore eu l'occasion de les tester.

Merci !

J'avais annoncé un peu partout qu'une nouvelle édition sera vendue sur thebookedition.com en septembre 2017 pour les oraux 2018.

• Réflexion 1 c'est plus malin de publier en décembre (il faut respecter la règle des 6 mois), de telle sorte que l'on puisse appâter des candidats qui voudraient profiter des mois septembre->décembre pour rédiger des choses pour eux-mêmes.

• Réflexion 2 La réflexion 1 n'implique pas qu'on accepte n'importe quel patch d'un candidat. Les critères restent la qualité mathématique, la pédagogie, et la cohérence des notations/terminologie.

• Réflexion 3 linuxfr est un très bon canal publicitaire. L'article de septembre 2016 a produit 1868 clics sur la page de téléchargement (c'est ééééénooooorme). Tous les mathématiciens succeptibles d'être intéressés par le Frido soit sont abonnés à linuxfr, soit sont très proches de quelqu'un qui l'est (je pense à la mini note sur le blog de Chafaï

Question: comment créer du bzzz en septembre 2017 sans publier une nouvelle version ? Rien qu'en annoncant une version à venir pour décembre.

Ou alors on se dit qu'on publie en septembre, parce que de toutes façons il y a peu de chances qu'un étudiant soit tellement fou qu'il puisse passer quelques heures de sa préparation à taper/améliorer un développement pour son lui futur.

Rien à voir : nous avons vendu 16 fois la trilogie. On peut probablement dire que plus de 1% des candidats arriveront à Paris avec un Frido dans le sac. Ou alors il y a des gens qui ont acheté le Frido en papier pour une autre raison qu'aller aux oraux ???

Soit l'énoncé «L'unique automorphisme du corps R est l'identité».
Est-ce que pour vous il y a dans cet énoncé un implicite comme quoi on n'a le droit de le prouver qu'en utilisant la structure de coprs de R ?

Moi j'ai la ferme impression que l'énoncé tel quel autoriste l'utilisation de toute la structure de R, mais ce n'est pas le cas de tout le monde.

Quel est l'usage dans les cours d'algèbre ?

La fonction T n'est pas définie

13.165 tu demandes "Pourquoi avons nous imposé ||u||=1 " alors que ce n'est pas précisé plus tôt

Il y a un signe = en trop a la ligne 13.268c

Je me pose la question suivante. Pour mettre "groupe abélien" dans la table des matières, la façon usuelle est de faire quelque chose comme

groupe -> abélien

de telle sorte à avoir visuellement

groupe
abélien
symétrique
isomorphisme
canonique
de groupe
...

Cela est très bien depuis Gutemberg parce que le but de l'index est de chercher visuellement des mots-clefs dans la table.

Je me demande si ce n'est pas mieux de faire directement "groupe abélien", de telle sorte à avoir

groupe abélien
groupe symétrique
isomorphisme canonique
isomorphisme de groupe
...

Le but est de retrouver plus facilement les choses avec un ctrl-F dans le PDF.

Il va sans dire que la magie de python peut hacker le fichier .toc entre deux passes de LaTeX compilations pour passer de l'un à l'autre, par exemple au moment de générer les fichiers destinés à être imprimés.

Qu'en penser ? Est-ce que quelqu'un lit cette table des matières réellement avec ses yeux, sans s'aider un ctrl-f ?

J'ai encore envie de simplifier l'organisation des répertoires.

Proposition

• Un répertoire tex qui contient les fichiers tex (à l'exclusion de ceux qui sont générés automatiquement pour les figures). Il serait divisé en

  • frido
  • research
  • exercices/correction
  • les sources des petits exemples de code inclus dans le texte (sage, python, matlab)
  • etc.

• Un répertoire manuel du contributeur

• Un répertoire auto qui contiendrait les fichiers générés automatiquement : le code tikz des figures, ainsi que leurs md5 et pdf. C'est le répertoires des choses auxquelles il ne faut pas toucher.

• Un répertoire src_phystricks contenant les sources des figures.

Je ne vais pas le faire avant d'avoir ton avis @LaurentClaessens, mais il pourrait être utile de changer toutes les adresses http:// en https:// si les sites en question sont en HTTPS par défaut.

Je pense notamment aux liens vers Wikipédia, en français ou en anglais, la plupart des liens sont en https:// mais j'ai quand même trouvé 24 fichiers contenant http://fr.wikipedia.org et 8 fichiers contenant http://en.wikipedia.org.

Le lemme 5.43 à propos des PGCD de polynômes est correct.
Le polynôme pgcd(P,PU+R) ne dépend effectivement pas de U : il vaut pgcd(P,R).

J'ai toutefois émis avant chaque démonstration quelques remarques sur les deux points du lemme.
Les démonstrations sont somme toute assez simples.

Premier point du lemme

Soit $P,Q,R\in K[X]$ des polynômes tels que $P$ soit premier avec $Q$. Alors $pgcd(P,QR)=pgcd(P,Q)pgcd(P,R)$

Remarques avant la démonstration

Puisque $P$ et $Q$ sont premiers entre eux, on a : $pgcd(P,Q)=1$ et il n'est donc pas très utile de faire figurer ce PGCD dans la formule donnée par le lemme...
Elle se réécrit donc : $pgcd(P,QR)=pgcd(P,R)$.

Dans ma démonstration de ce premier point, j'utilise le théorème de Gauss... qui est situé juste en-dessous du lemme.
Il faudra donc soit adapter un peu la démonstration, soit changer l'organisation du cours pour placer ce lemme après le-dit théorème.

Démonstration

Montrons que pour tout polynôme $A$ de $\mathbb{K}[X]$ :
$A|{P,QR} \Leftrightarrow A|{P,R}$

Sens $\Rightarrow$ :
Par hypothèse, il existe des polynômes $U,V,B_1,B_2$ tels que $PU+QV=1$, $P=AB_1$ et $QR=AB_2$
Montrons que $A|R$ :
$A|P$ et $P$ est premier avec $Q$, donc $A$ est premier avec $Q$
(En effet : $A(B_1U)+QV=1$ donc d'après le théorème de Bézout, $A$ et $Q$ sont premiers entre eux)
$A|QR$ et $A$ est premier avec $Q$ donc d'après le théorème de Gauss : $A|R$

Sens $\Leftarrow$ :
Si $A|R$ alors on a évidemment : $A|QR$

Bilan :
Les diviseurs de ${P,QR}$ sont exactement les diviseurs de ${P,R}$
Les paires ${P,QR}$ et ${P,R}$ ont donc le même PGCD.

Second point du lemme

En analogie avec le lemme 3.37, nous avons $pgcd(P,PQ+R)=pgcd(P,R)$

Remarque avant la démonstration

Le fait qu'aucune hypothèse sur $P,Q,R$ ne soit précisée dans ce second point laisse penser que les hypothèses sont les mêmes que pour le premier point.
En réalité, il n'est ici absolument pas nécessaire que $P$ soit premier avec $Q$ : $P,Q,R$ sont des polynômes quelconques.

Démonstration

Montrons que pour tout polynôme $A$ de $\mathbb{K}[X]$ :
$A|{P,PQ+R} \Leftrightarrow A|{P,R}$

Sens $\Rightarrow$ :
Par hypothèse, il existe des polynômes $B_1,B_2$ tels que $P=AB_1$ et $PQ+R=AB_2$
Montrons que $A|R$ :
$R=(PQ+R)-PQ=(AB_2)-(AB_1)Q=A(B_2-B_1Q)$ donc $A|R$

Sens $\Leftarrow$ :
Par hypothèse, il existe des polynômes $B_1,B_2$ tels que $P=AB_1$ et $R=AB_2$
Montrons que $A|PQ+R$ :
$PQ+R=(AB_1)Q+(AB_2)=A(B_1Q+B_2)$ donc $A|PQ+R$

Bilan :
Les diviseurs de ${P,PQ+R}$ sont exactement les diviseurs de ${P,R}$
Les paires ${P,PQ+R}$ et ${P,R}$ ont donc le même PGCD.

Bonsoir,

En (re)lisant la partie groupes - et notamment les entiers - , il me semble qu'il faille préciser qu'on utilise le lemme de Zorn à la ligne 437... pour garantir que le maximum existe et est dans E.

À moins que je ne m'abuse?

Il me semble que la définition d'injective suppose un peu trop à la page 98. En disant "pour tout y dans F, il existe au plus un x dans E tel que y = f(x)", tous les "y" se font trouver par f(x), alors c'est aussi surjective, n'est-ce pas?

La page Wikipedia décrit plutot "Pour tout x et x' dans E, si f(x)=f(x') alors x=x'".

J'imagine que c'est f-1 qui ne s'annule pas sur J

L'exemple 4.84 affirme que Z n'est pas principal (et donc pas euclidien non plus).

Exemple 4.84 (Z n’est ni principal ni euclidien)
L’idéal (2) = 2Z n’est pas un idéal principal de Z, parce que tout multiple entier d’un nombre
pair reste pair. Donc Z possède des idéaux non principaux et n’est pas conséquent pas un anneau
principal.
Il ne peut alors pas non plus être euclidien par la proposition 4.83.

Pourtant, Z est principal (c'est d'ailleurs bien précisé dans l'exemple 4.71) et même euclidien (la valeur absolue sur Z est bien un stathme euclidien).
L'idéal 2Z est en tout état de cause principal, puisqu'il est engendré par 2.

Cet exemple est donc à supprimer/remplacer ; wikipédia donne des exemples d'anneaux intègres non principaux (et donc non euclidiens) qui seraient plus judicieux : Z[i\sqrt{5}] ou alors A[X] (où A est un anneau intègre qui n'est pas un corps).

La remarque en-dessous de l'exemple 4.82 ("L’exemple 4.84 montrera que Z ne possède pas de stathme euclidien en montrant qu’il n’est pas principal.") devra aussi être revue en conséquence.

Bonjour,

Voici la réponse à la question 2 page 65 : oui
On a en effet $P(A|X)=E(1_A|X)$. Donc en utilisant le fait que l'espérance de l'espérance conditionnelle est l'espérance, on a : $E(P(A|X))=E(E(1_A|X))=E(1_A)=P(A)$.

Pour la question 7, la réponse est non. On imagine l'expérience suivante, où X et Y sont deux piles/faces équilibrés indépendants (représentés par 0,1). Et $\mathcal{A}$ est la tribu engendrée par l'événement A={(1,0),(1,0)}="les résultats des 2 lancers sont différents".
X et $\mathcal{A}$ sont independants, donc E(X|\mathcal{A})=E(X)=1/2. Pareil pour Y.
En revanche, le produit XY est nul sur A donc E(XY|\mathcal{A}) aussi. Ca ne peut donc etre égal à la constante 1/4=(1/2)^2.
C'est le même genre de chose qui dit que même si A et B sont indépendants, alors P(A\cap B|C) n'est pas forcément le produit des probabilités conditionnelles.

Quelques erreurs soulevées par bibtex lors de son passage...

""" immediately follows a field part---line 20 of file mazhe.bib
 :     url = http://www.mathieu-mansuy.fr/pdf/ECS2-complément1.pdf
 :                                                                 "",
I'm skipping whatever remains of this entry
Repeated entry---line 3214 of file mazhe.bib
 : @article{DHdwZRZ
 :                 ,
I'm skipping whatever remains of this entry
[... lots of warnings, due mainly to empty fields ...]
There were 2 error messages.

mytskine propose ici une branche dont j'ai déjà pris tous les commit sauf un.

EDIT : ok, je me suis planté, j'ai pris ce commit aussi; j'ai été trop vite en fusionnant ma branche de test. Il n'empêche que la question reste.

QUESTION : lorsqu'on écrit une somme abrégée par trois points, vous préférez
a_1 + \ldots + a_n
ou bien
a_1 + \cdots + a_n

Personnellement je préfère ldots parce que ça fait plus aéré et parce que dans le cas d'un produit noté avec \cdot je vois mal
a_1\cdot \cdots \cdot a_n
(j'écris ça ici, mais je ne suis pas sûr d'avoir suivit cet avis dans mon propre texte)

Dans les chapitres en anglais, on trouve :

• 2 analyze, 0 analyse
• 2 organize, 0 organise
• 8 particularize, 8 particularise
• 4 realize, 9 realise
• 7 recognize, 0 recognise
• 7 generalize, 7 generalise
• 22 neighborhood, 200 neighbourhood
• etc

Quel dialecte préfères-tu ?

Le lecteur est parfois tantôt tutoyé (j'ai vu plusieurs tutoiements notamment dans le chapitre 12), tantôt vouvoyé.
À mon avis, il serait bon d'éviter le tutoiement et de s'en tenir au vouvoiement.

Si l'on suit la logique "On utilise seulement des choses que l'on a dit ou prouvé avant", il faut revoir ce qui concerne les espaces vectoriels.

Je propose que le chapitre existant soit divisé en 3 (au moins):

• notions de base sur les e.v. (qui viendrait après la première définition de corps);
• un chapitre entièrement consacré aux e.v. normés (éventuellement euclidiens);
• un autre en ce qui concerne les compléments.

Peut-on envisager cela? Est-ce une structure qui convient?

Tu introduis l'opérateur nabla sans le définir proprement. Cela me gene car je viens précisément lire ce livre afin de mettre de la rigueur dans ces notations sauvages de physiciens :-)

Concernant la fonction puissance, il est dit dans le chapitre 13.7 : «Pour l'instant, nous savons déjà définir x^n lorsque x \in R et n \in N». Sauf que je n'ai pas trouvé cette définition. J'ai cherché dans le chapitre 1 où je m'attendais à la trouver (pas loin de la définition des anneaux, où la notion de multiplication apparaît pour la première fois) mais elle ne s'y trouve pas.

Page 656 Candidat limite.

On dit que f est continue sur Q et que par conséquent pour tout p et q dans Q on a | p-q |< d --> |f(p) - f(q)| < epsilon. On a donc utilisé une notion de continuité uniforme sans justification

Je ne trouve pas de définition d'un espace vectoriel dans le cours :
L'index n'en parle pas, et le chapitre 4 (Espaces vectoriels) commence à peu près par «Soit E un espace vectoriel».

La première occurrence d'«espace vectoriel» que j'ai trouvée dans le cours est à l'exemple 2.88 du chapitre sur les groupes :
Si E est un espace vectoriel alors (E,+) est un groupe commutatif. L’inverse de x est -x.
Là encore, pas de définition.

Les principales structures algébriques (groupes, anneaux, corps) sont bien définies (dans le chapitre 1), mais visiblement pas les espaces vectoriels.

Dans la proposition 13.147 il me semble qu'il faille ajouter la condition que a n'appartient pas à Ai si i > k

J'ai ajouté l’irrationalité de sqrt(n) juste après le théorème des valeurs intermédiaires.

Pour ce faire j'ai ajouté un mini-paragraphe "écriture de fractions" juste après Bézout et le lemme d'Euclide. J'y énonce (sans preuve) les deux résultats importants qu'une fraction peut être écrite sous forme irréductible et que (p,q) premiers entre eux SSI (p^2,q^2) premiers entre eux.

Je ne suis pas sûr que ce soit le meilleur endroit pour placer, mais j'ai l'impression qu'il va falloir utiliser Bézout pour prouver le second énoncé.

Si quelqu'un veut se coller à trouver les preuves et se demander si c'est le bon endroit pour les mettre, qu'il y aille :)

Le concept de "A divise B" est utilisé dans la définition 1.46 de PPCM et PGCD, avant sa définition qui arrive en 1.51.

Si je comprends bien l'esprit du Frido, il faudrait déplacer la définition de PPCM et PGCD après la définition 1.51 ? Si c'est le cas, je peux envoyer une PR pour le faire.

D'autre part, la définition 1.46 mentionne:

Nous disons que µ dans A est un PPCM de S si
(1) S | µ,
(2) si S | m, alors µ | m.
où S est un sous-ensemble de A et µ et m des éléments de A.

Du coup il me semble qu'il faudrait plutôt:

Nous disons que µ dans A est un PPCM de S si
(1) pour tout n dans S, n | µ,
(2) si pour tout n dans S, n | m, alors µ | m.
Ou bien la notation utilisée est-elle d'usage?

Ça fait quelque temps que je bataille contre Cauchy-Lipschitz.

La preuve du théorème «Cauchy-Lipschitz avec paramètre» tel qu'écrite pour l'instant dans le Frido est fausse parce que j'ai été un peu vite en supposant que C^p était complet pour la norme uniforme. Il ne l'est pas.

Soit k le paramètre et l'équation différentielle

y'_k=f( t, y_k(t),k )
y_k(0)=y_0

où f est de classe C^p en tous ses paramètres. Alors (t,k)-> y(t,k) est de classe C^p. En particulier, de classe C^p par rapport au paramètre.

Vrai/Faux ?

Il me faudrait une ressource en ligne qui en donne un énoncé et une preuve.

Le lien de la source 13 est mort... enfin, les pages perso SFR ont disparu en novembre 2016.

Cette propriété est présente deux fois dans l'ouvrage... Je vais émettre un "push" sur ma branche qui soulève le problème.
La première fois qu'on la voit, c'est la prop. PROPooSHHWooCyZPPw (fichier 48 ligne 233). J'ai référencé la seconde comme PROPooSHHWooCyZPPw2, qui sera dans ma branche à la ligne 754.

De plus, si je ne m'abuse, quand on l'évoque la première fois, on n'a pas encore parlé d'idéaux maximaux... Je pense qu'on peut en profiter pour parler d'idéaux premiers aussi.

Question 9
Est-ce que l’énoncé et la démonstration de la proposition 5.67 sont corrects ? Si a et b sont des racines de P, alors µaµb divise P (si µa!=µb) Cette proposition est utilisée dans la démonstration de l’irréductibilité des polynômes cyclotomiques (proposition 5.125).

La démonstration est correcte, mais on peut la rendre un peu plus élégante, en utilisant la proposition 5.54 qui nous apprend que µ_a est irréductible sur le corps K.

La partie concernée est l'avant-dernier paragraphe de la démonstration, où on justifie que µ_a(b) n'est pas nul.
On y suppose par l'absurde que µ_a(b) = 0, puis on écrit : µ_a = µ_b * R.
Je trouve que la suite de ce paragraphe est un peu confuse, je propose donc de la remplacer par quelque chose comme :

Puisque µ_a est irréductible, l'égalité µ_a = µ_b * R n'est possible que si µ_b ou R est un polynôme constant.
R est donc un polynôme constant (égal à 1 puisque µ_a et µ_b sont unitaires) et on obtient : µ_a = µ_b (ce qui est en contradiction avec les hypothèses du théorème)

Question 15
Pourquoi la pseudo-réduction simultanée (corollaire 9.174) est-elle pseudo ? Pourtant les
matrices sont bel et bien simultanément diagonalisées.

Il s'agit d'une pseudo-réduction tout simplement parce que les matrices ne sont pas vraiment diagonalisées.

La matrice Q n'est a priori pas orthogonale, sa transposée n'est donc pas égale à son inverse...
Contrairement aux apparences, il ne s'agit donc pas d'une vraie diagonalisation.

Question 21
Si f : V -> V est une application linéaire, on ne peut pas définir la transposée f^t : V -> V comme étant l’application linéaire dont la matrice est la transposée de la matrice de f parce que cette définition n’est pas invariante par changement de base. C’est vrai ? Voir le problème 8.

La définition par transposition de matrice n'est effectivement pas invariante par changement de base, comme on peut le vérifier sur un exemple simple (ici, en dimension 2) :

On considère une base B=(e1,e2) et l'application linéaire f définie par :
f(e1)=e1 et f(e2)=0

La matrice de f dans la base B est : \begin{pmatrix}1 & 0\0 & 0\\end{pmatrix}
C'est une matrice symétrique, donc dans cette base f est égale à sa transposée.

On considère maintenant la base B'=(e1,e1+e2)
Les vecteurs de la base B' ont pour image : f(e1)=f(e1+e2)=e1
La matrice de f dans la base B' est donc : \begin{pmatrix}1 & 1\0 & 0\\end{pmatrix}

Ce n'est plus une matrice symétrique.
Dans cette base, la transposée de f est donc une application différente de f.

Pour l'instant pour contribuer de manière plus ou moins vivable (c'est à dire sans faire pdflatex mazhe.tex pour compiler chaque virgule), il faut :

• git pull de mazhe, latexparser et pytex
• faire voir latexparser dans la variable d'environnement 'PYTHONPATH'
• faire voir pytex dans PATH
• et là c'est bon

Il y a sûrement moyen de rendre plus simple.

Je propose : un script install.sh qui

• fait les git pull de latexparser et pytex vers des sous-répertoires de mazhe
• copie l'exécutable pytex vers le répertoire mazhe et le modifie à la volée pour qu'il aille chercher ses import dans les bons répertoires.

Perso j'adore l'idée écrire du code bash dont le but est de générer du code python qui a pour finalité de créer le code latex qui servira à produire un pdf.

Dans le chapitre "Construction des ensembles de nombres":

• 2.1 "Quelques éléments sur les ensembles", "...une théorie naïve des ensemble comme..." : "s" à "ensembles"
• Définition 2.5 "..est un minimum si... m est comparable à m et m <= y" : un "m" n'est-il pas de trop et devrait devenir "y" ?
• Définition 2.13 : comment se lit (prononce) le "delta" ?
• Lemme 2.14, démonstration, "...séparant les cas suivant que...": "s" à "suivants"
• même phrase, "B inclus à A"... ? plutôt "B inclus dans A" ?
• 2.2.2 "Quelques autres résultats", "...implications comme a > b implique qu'il n'existe pas de x tel que a+b=b" : plutôt "a+x=b" ?
• 2.4 "Quelques structures algébriques", définition 2.20 "..est un groupe abélien" : cela a-t-il été défini auparavant ?

Plus à venir...