Question (8) d'algèbre/géométrie : lemme 5.43 sur les PGCD de polynômes. about mazhe HOT 7 CLOSED

Après réflexion, il y a peut-être une coquille dans les hypothèses du premier point du lemme.
Les polynômes premiers entre eux ne seraient pas P et Q, mais Q et R.

Si Q et R sont premiers entre eux, on a bien : pgcd(P,QR)=pgcd(P,Q)pgcd(P,R)

La démonstration me paraît cependant moins immédiate.
On s'en sort assez facilement en utilisant des décompositions en produit de polynômes irréductibles, mais je ne vois pas d'autre façon de procéder.

from mazhe.

Il y a effectivement deux énoncés non équivalents possibles. On va mettre les deux.
Je pousse dans la branche 'alpha'.

from mazhe.

Chez moi ça marche(tm).
C'est publié à la page 188.
Est-ce qu'il y a une faute dans un des trois cas ?

from mazhe.

Pas de fautes dans le lemme, mais quelques coquilles dans les démonstrations :

Pour le point (1)

A | {P,PQ+R} implique A| | {P,R}
=> Il y a une barre verticale en trop.

A | {P,R} implique A| | {P,PQ+R}
=> Même chose.

Pour le point (3)

Le point (3) est démontré deux fois...

Ce la prouve que A est premier avec Q grâce encore à Bérout, mais dans l’autre sens.
=> "Cela" en un seul mot, "Bézout" avec un 'z'

Conclusion : Nous avons Les diviseurs de P,QR sont exactement les diviseurs de P,R.
=> Le début de la phrase est à revoir.
=> Les accolades autour de chaque paire de polynômes ne sont pas visibles.

En conséquence de quoi nous concluons que les paires P,QR et P,R ont le même pgcd.
=> Même chose pour les accolades.

Maintenant vous devriee être capables de faire ça.
=> "devriez"

from mazhe.

from mazhe.

Une démonstration du point (2) qui s'appuie sur deux propriétés assez faciles à établir :
(je ne sais pas si ces propriétés figurent dans le Frido, mais ça ne coûterait pas cher de les ajouter si elles n'y sont pas déjà)

Première propriété : (c'est une conséquence du théorème de Bézout)
$A,B$ sont deux polynômes quelconques, $G$ est un polynôme unitaire.
$G$ est le pgcd de $A$ et $B$ si et seulement si les deux conditions suivantes sont vérifiées :

• il existe deux polynômes $U$ et $V$ tels que $AU+BV=G$
• $G|A$ et $G|B$

(si on ne suppose pas $G$ unitaire, alors $G$ ne sera pas le pgcd mais un pgcd)

Démonstration :

Sens $\Rightarrow$ :

Si $G$ est le pgcd de $A$ et $B$, il est clair que $G|A$ et $G|B$.
Il reste donc à montrer l'existence des polynômes $U$ et $V$ vérifiant $AU+BV=G$.
Il existe des polynômes $A_1,B_1$ tels que $A=GA_1$ et $B=GB_1$.

On montre facilement que les polynômes $A_1$ et $B_1$ sont premiers entre eux :
S'ils ont un diviseur commun $D$, alors $GD$ est un diviseur commun à $A$ et $B$.
Or, $G$ est le pgcd de $A$ et $B$ donc $GD|G$ ; $D$ ne peut être qu'un polynôme constant.
$A_1$ et $B_1$ sont donc bien premiers entre eux.

D'après le théorème de Bézout, il existe donc $U$ et $V$ tels que $A_1U+B_1V=1$.
En multipliant par $G$, on obtient l'égalité voulue : $AU+BV=G$.

Sens $\Leftarrow$ :

Si $G$ vérifie les deux conditions, montrons que $G$ est un/le pgcd de $A$ et $B$ :
On sait déjà (par hypothèse) que $G$ divise $A$ et $B$, il reste à montrer que tous les diviseurs commun à $A$ et $B$ divisent aussi $G$.
Soit donc $D$ un diviseur commun à $A$ et $B$ :
Il existe $A_1$ et $B_1$ tels que $A=DA_1$ et $B=DB_1$.
On sait que $G=AU+BV$ donc $G=D(A_1U+B_1V)$, et $D|G$.

Par définition, $G$ est bien un/le pgcd de $A$ et $B$.

Deuxième propriété : (c'est une conséquence du théorème de Gauss)
$A,B$ sont deux polynômes premiers entre eux, $P$ est un polynôme quelconque.
Si $P$ est divisible par $A$ et par $B$ alors $P$ est divisible par $AB$.

Démonstration :

$A$ divise $P$ donc il existe $Q_1\in\mathbb{K}[X]$ tel que $P=AQ_1$.
$B$ divise $P=AQ_1$, et $B$ est premier avec $A$ donc d'après le théorème de Gauss : $B|Q_1$.
Il existe donc $Q_2\in\mathbb{K}[X]$ tel que $Q_1=BQ_2$.
On a donc $P=ABQ_2$ : $P$ est bien divisible par $AB$.

On peut maintenant passer à la démonstration du fameux point (2) :

On a trois polynômes $P,Q,R$ et on sait que $Q$ et $R$ sont premiers entre eux.
On note : $G_1=pgcd(P,Q)$ et $G_2=pgcd(P,R)$.
Il faut montrer que $G_1G_2$ est le pgcd de $P$ et $QR$.
Pour utiliser la première propriété, on a deux choses à montrer :

• Montrons qu'il existe des polynômes $U$ et $V$ tels que $G_1G_2=PU+QRV$ :
  $G_1=pgcd(P,Q)$ donc il existe $U_1$ et $V_1$ tels que $G_1=PU_1+QV_1$ (on utilise pour cela la première propriété).
  On a de même : $G_2=PU_2+RV_2$.
  $G_1G_2=(PU_1+QV_1)(PU_2+RV_2)$. En développant, on trouve :
  $G_1G_2=PU+QRV$ avec $U=PU_1U_2+QV_1U_2+RU_1V_2$ et $V=V_1V_2$.

• Montrons que $G_1G_2$ divise $P$ et $QR$ :
  $G_1|Q$ et $G_2|R$ donc $G_1G_2|QR$.
  Il reste à montrer que $G_1G_2|P$ :
  $P$ est divisible par $G_1$ et par $G_2$ ; et on vérifie facilement que $G_1$ et $G_2$ sont premiers entre eux (si $D$ est un diviseur commun à $G_1$ et $G_2$, alors $D$ divise $Q$ et $R$ qui sont premiers entre eux ; $D$ ne peut être qu'un polynôme constant).
  On peut donc utiliser la deuxième propriété pour conclure que $P$ est divisible par $G_1G_2$.

Les deux conditions citées dans la première propriété sont remplies, $G_1G_2$ est bien le pgcd de $P$ et $QR$.

Voilà, avec tout ça, je pense que la question qui restait en suspens est close :)

from mazhe.

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