Comments (7)
Après réflexion, il y a peut-être une coquille dans les hypothèses du premier point du lemme.
Les polynômes premiers entre eux ne seraient pas P et Q, mais Q et R.
Si Q et R sont premiers entre eux, on a bien : pgcd(P,QR)=pgcd(P,Q)pgcd(P,R)
La démonstration me paraît cependant moins immédiate.
On s'en sort assez facilement en utilisant des décompositions en produit de polynômes irréductibles, mais je ne vois pas d'autre façon de procéder.
from mazhe.
Il y a effectivement deux énoncés non équivalents possibles. On va mettre les deux.
Je pousse dans la branche 'alpha'.
from mazhe.
Chez moi ça marche(tm).
C'est publié à la page 188.
Est-ce qu'il y a une faute dans un des trois cas ?
from mazhe.
Pas de fautes dans le lemme, mais quelques coquilles dans les démonstrations :
Pour le point (1)
A | {P,PQ+R} implique A| | {P,R}
=> Il y a une barre verticale en trop.
A | {P,R} implique A| | {P,PQ+R}
=> Même chose.
Pour le point (3)
Le point (3) est démontré deux fois...
Ce la prouve que A est premier avec Q grâce encore à Bérout, mais dans l’autre sens.
=> "Cela" en un seul mot, "Bézout" avec un 'z'
Conclusion : Nous avons Les diviseurs de P,QR sont exactement les diviseurs de P,R.
=> Le début de la phrase est à revoir.
=> Les accolades autour de chaque paire de polynômes ne sont pas visibles.
En conséquence de quoi nous concluons que les paires P,QR et P,R ont le même pgcd.
=> Même chose pour les accolades.
Maintenant vous devriee être capables de faire ça.
=> "devriez"
from mazhe.
from mazhe.
Une démonstration du point (2) qui s'appuie sur deux propriétés assez faciles à établir :
(je ne sais pas si ces propriétés figurent dans le Frido, mais ça ne coûterait pas cher de les ajouter si elles n'y sont pas déjà)
Première propriété : (c'est une conséquence du théorème de Bézout)
- il existe deux polynômes
$U$ et$V$ tels que$AU+BV=G$ -
$G|A$ et$G|B$
(si on ne suppose pas
Démonstration :
Sens
Si
Il reste donc à montrer l'existence des polynômes
Il existe des polynômes
On montre facilement que les polynômes
S'ils ont un diviseur commun
Or,
D'après le théorème de Bézout, il existe donc
En multipliant par
Sens
Si
On sait déjà (par hypothèse) que
Soit donc
Il existe
On sait que
Par définition,
Deuxième propriété : (c'est une conséquence du théorème de Gauss)
Si
Démonstration :
Il existe donc
On a donc
On peut maintenant passer à la démonstration du fameux point (2) :
On a trois polynômes
On note :
Il faut montrer que
Pour utiliser la première propriété, on a deux choses à montrer :
-
Montrons qu'il existe des polynômes
$U$ et$V$ tels que$G_1G_2=PU+QRV$ :
$G_1=pgcd(P,Q)$ donc il existe$U_1$ et$V_1$ tels que$G_1=PU_1+QV_1$ (on utilise pour cela la première propriété).
On a de même :$G_2=PU_2+RV_2$ .
$G_1G_2=(PU_1+QV_1)(PU_2+RV_2)$ . En développant, on trouve :
$G_1G_2=PU+QRV$ avec$U=PU_1U_2+QV_1U_2+RU_1V_2$ et$V=V_1V_2$ . -
Montrons que
$G_1G_2$ divise$P$ et$QR$ :
$G_1|Q$ et$G_2|R$ donc$G_1G_2|QR$ .
Il reste à montrer que$G_1G_2|P$ :
$P$ est divisible par$G_1$ et par$G_2$ ; et on vérifie facilement que$G_1$ et$G_2$ sont premiers entre eux (si$D$ est un diviseur commun à$G_1$ et$G_2$ , alors$D$ divise$Q$ et$R$ qui sont premiers entre eux ;$D$ ne peut être qu'un polynôme constant).
On peut donc utiliser la deuxième propriété pour conclure que$P$ est divisible par$G_1G_2$ .
Les deux conditions citées dans la première propriété sont remplies,
Voilà, avec tout ça, je pense que la question qui restait en suspens est close :)
from mazhe.
from mazhe.
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