Uniforme continuité utilisee sans justification page 656 about mazhe HOT 14 CLOSED

Bien vu.
À mon avis, il faut fixer x et travailler sur un compact autour de x. Alors f est continue sur ce compact et donc uniformément continue.

Par contre, comme cette preuve est bourrée de chausse-trappe de topologies différentes et induites, il faut faire très attention avant d'agir à la légère. Je vais y réfléchir.

from mazhe.

Merci. D'ailleurs le même problème apparaît plusieurs fois dans la preuve du ou des thm qui suivent.
J'ai eu la même réaction que toi. Avec un compact ça devrait marcher.... sauf que Q n'est pas localement compact donc ça pose problème

J'aimerai bien savoir si une fonction definie sur Q et continue sur un ensemble I inter Q avec I intervalle borné fermé de R est uniformément continue sur cet intervalle.

from mazhe.

Ah ouais, c'est un peu chaud.
Ce serait pas mal de prouver que si K est compact dans R, alors (K inter Q) est compact dans Q.

Mmmmm. C'est même faux :
https://math.stackexchange.com/questions/1807405/is-0-1-cap-bbb-q-a-compact-subset-of-bbb-q

from mazhe.

Si tu reprends la preuve de f continue sur un compact --> f UC sur le compact je crois que ça marche.

Soit K un compact de R. Soit f fonction continue de Q dans X espace métrique.
Soit epsilon > 0
Pour tout q appartenant à K inter Q il existe B(q,d) boule ouverte centrée en q et de rayon dq telle que pour tout x € K inter Q: x € B(q,dq) --> f(x) € B(f(q), epsilon)

Les B(q,dq) forment un recouvrement ouvert de K inter Q donc K inter Q appartient à la réunion des B(q,dq).
On doit se rappeler que les B(q,dq) sont des boules ouvertes de Q. Mais on peut leur associer B'(q,dq) boules ouvertes de R t.q. B(q,dq) = B'(q,dq) inter Q.
On a donc les B'(q,dq) qui sont des ouverts de R dont la reunion contient K inter Q et donc contient K car K inter Q est dense dans K.
On applique le critère de compacité pour obtenir un sous recouvrement fini et on fait le chemin dans l'autre sens.

Il me semble que c'est rigoureux. Qu'en pense tu ?

from mazhe.

Je ne suis pas d'accord avec le fait que l'union des B' recouvre K.
En effet, prenons un irrationnel r dans K.
Pour chaque q, je peux prendre d_q un peu plus petit pour que r ne soit pas dans B(q, d_q).

On peut même faire ça très fort. Si (r_k) est une suite dont la série vaut M, alors si (q_i) est une énumération des rationnels dans R,
B(q_i, r_i) donne une partie ouverte de R qui contient tous les rationnels et dont la mesure est M.
En pensant à M=0.1 c'est assez fort ...

from mazhe.

Je crois que la proposition 18.124 (dans la section 18.16 Prolongement de fonctions) fait ce qu'on veut.

Et comme le Frido adore aller du plus général au plus particulier (qui est l'ordre pédagogique inverse), ça va encore être un grand moment où un théorème va remonter de 5 chapitres ...

from mazhe.

Oui tu as raison ! Merci !

from mazhe.

Non, je me plante, 18.124 ne fait pas le boulot; elle est pour les fonctions linéaires.

from mazhe.

Et il y a pire. À mon avis la proposition est même fausse; l'hypothèse de continuité n'a pas l'air de suffire.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_Cauchy-continue

from mazhe.

Je disais tu as raison pour le contre exemple ^^

from mazhe.

Après réflexion, la principale difficulté restante est de montrer que la fonction

q-> q^(1/n)
est Cauchy-continue. C'est le principal cas d'utilisation du lemme de prolongation de Q vers R, pour définir la fonction puissance.

from mazhe.

Pour la fonction puissance, peut-être qu'il faut suivre ceci :
http://irma.math.unistra.fr/~bopp/CAPES/cours/equation-felle-exp.pdf

Elle ne définit pas la puissance via une limite, mais en disant que a^x est le sup des a^q avec q<x. Ensuite, elle prouve que le tout est continue et comme il faut.

from mazhe.

Ok. La situation est résolue.

• ajout de l'hypothèse de Cauchy-continuité dans le lemme incriminé
• mise à jour de la preuve
• démonstration du fait que la fonction q-> a^q est Cauchy-continue.
• je garde la définition de a^x par la prolongation continue de Q vers R

Pour moi c'est bon.

from mazhe.

Super merci !

from mazhe.