L'exemple 4.84 est faux : Z est principal about mazhe HOT 6 CLOSED

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J'ai poussé une correction avec preuve que Z[X] est euclidien et principal dans la branche alpha. Ça devrait arriver dans master dans pas très longtemps.
Par contre, ma connexion internet fonctionne très mal depuis un mois, et ça risque de prendre par mal de temps avant que je puisse publier le pdf corrigé.
(en gros : le temps que je trouve le temps d'aller voir mon opérateur pour résilier l'abonnement et d'en ouvrir un autre)

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J'ai poussé une correction avec preuve que Z[X] est euclidien et principal dans la branche alpha.

Je suppose que tu veux dire Z ?

Dans un de tes commits, tu poses la question pour Z[X] : lui n'est ni euclidien ni principal.

Le lien wikipédia que j'ai mentionné plus haut explique que si l'anneau intègre A n'est pas un corps, l'idéal de A[X] engendré par X et a (où a est un élément non inversible de l'anneau A) n'est pas principal.
On peut appliquer ce raisonnement pour Z[X] en prenant par exemple a=2 :
L'idéal de Z[X] engendré par X et 2 n'est pas principal.

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J'ai relu les preuves des points 4.85 et 4.86, il y a deux-trois trucs à corriger :

4.85
L’anneau Z est principal et euclidien.

La démonstration contient des "copier-coller" dont il reste des déchets : il faut supprimer "et le couple (q_0,r_0)" dans les trois derniers cas.

4.86
Si A est un anneau intègre qui n’est pas un corps, alors A[X] n’est pas principal.

• Dans la première partie de la démonstration, on arrive à l'égalité kk'=1.
  À partir de là, on peut seulement en déduire que k est inversible (pas nécessairement égal à 1 ou -1).
  Néanmoins, le fait que k soit inversible est suffisant pour la suite : si l'idéal contient un inversible, alors cet idéal est en fait l'anneau A[X] tout entier.

• À la fin de cette même première partie : (P) n'est pas égal à A mais à A[X] (il manque donc le "[X]")

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J'ai poussé un gros morceau qui répond à toutes les remarques de ce fil. Espérant que je n'ai pas ajouté trop de bêtises au passage.

Au passage j'ai découvert une autre faure : il était prétendu que les Z/nZ sont principaux. Vive la page de wikipédia qui prend justement Z/nZ comme exemple d'un anneau non principal dont tous les idéaux sont principaux.

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