Définition manquante : espace vectoriel about mazhe HOT 6 CLOSED

C'est poussé dans la branche alpha.
Au passage :

• Un exemple de groupe était (E,+) lorsque E est un espace vectoriel. Maintenant que le fait que (E,+) soit un groupe est dans la définition d'un espace vectoriel, cet exemple perd de sa superbe. Cet exemple est supprimé.

from mazhe.

Ah tiens, la situation est pire que prévu. En effet la notion d'espace vectoriel est demandée dans la définition d'une algèbre. Donc :

• un espace vectoriel est maintenant défini comme module sur un corps commutatif
• la définition tapée hier soir est maintenant donnée comme "rappel".

from mazhe.

Petite remarque à propos de la commutativité de + :
Elle est traditionnellement exigée dans la définition d'un espace vectoriel ou d'un module, mais elle est en fait superflue puisqu'elle se déduit des autres propriétés.

En développant (1+1).(x+y) de deux façons différentes, ça donne :

• (1+1).(x+y) = 1.(x+y)+1.(x+y) = x+y+x+y
• (1+1).(x+y) = (1+1).x+(1+1).y = x+x+y+y

En simplifiant à gauche par x et à droite par y, on trouve : y+x=x+y.

C'est également valable pour un anneau unitaire.
Wikipédia en parle brièvement dans des notes en bas de page :

• https://fr.wikipedia.org/wiki/Espace_vectoriel#cite_note-4
• https://fr.wikipedia.org/wiki/Module_sur_un_anneau#cite_note-2
• https://fr.wikipedia.org/wiki/Anneau_unitaire#cite_note-AbelSuperflu-4

Je trouve ça suffisamment intéressant pour être souligné.

from mazhe.

Tenuu compte, merci

from mazhe.

Il manque la condition "(a+b).x = a.x + b.x" dans la nouvelle définition du module.

from mazhe.

Corrigé, merci.

from mazhe.