Questions (9), (15) et (21) d'algèbre about mazhe HOT 8 CLOSED

J'en profite pour répondre aussi à la question (17) :
Est-ce que la proposition 5.54 disant qu’un polynôme minimal est irréductible et premier avec tout polynôme non annulateur est correcte ?

La proposition est correcte, mais il manque quelques précisions dans la démonstration.

Dans la démonstration du point (1), il faudrait préciser : "il existerait des polynômes P et Q dans K[X] de degré supérieur à 1"

Dans celle du point (2), même chose : "alors ils ont un diviseur commun de degré supérieur à 1".
Et puis : "ce diviseur commun ne peut être que µ_a lui-même (ou un polynôme k*µ_a avec k € K\{0})"

Voici également une réponse à la question posée en 1.6.2.1 :
Dans quels cas l’énoncé suivant est vrai : le PGCD de a et b est 1 si et seulement si l’unique diviseur commun de a et b est 1.

Tel quel, l'énoncé n'est (presque) jamais vrai.
Heureusement, il n'y a pas grand chose à changer pour obtenir un énoncé vrai.

Les éléments inversibles sont toujours des diviseurs communs à a et b.
En effet, si k est inversible d'inverse k', alors a=k(k'a) donc k|a (même chose pour b).

Or, 1 n'est en général pas l'unique élément inversible d'un anneau A. Par exemple :

• dans Z, il y a deux inversibles : 1 et -1.
• dans K[X], les inversibles sont tous les polynômes constants non nuls.

L'énoncé qui suit est vrai :
1 est un PGCD de a et b si et seulement si les seuls diviseurs communs à a et b sont les inversibles.

On peut bien sûr remplacer "un" par "le" si on a fixé une convention pour assurer l'unicité du PGCD (par exemple, dans Z on impose que le PGCD soit positif, dans K[X] on impose qu'il soit unitaire).

from mazhe.

Voici également une réponse à la question (6) :
Soit L une extension algébrique de corps de K et a € L. Est-ce que le polynôme minimal de a dans K[X] est l’unique polynôme irréductible unitaire P € K[X] tel que P(a) = 0 ?
D’ailleurs, est-ce qu’un tel polynôme existe ? est unique ? J’utilise cela dans la proposition 5.96.

Le polynôme minimal tel que défini en 5.52 est bien l'unique polynôme irréductible unitaire tel que P(a) = 0.

En voici une démonstration :

Tout d'abord, fixons les choses :

On note I(a) l'idéal {P € K[X] tel que P(a) = 0}.
Le corps L est une extension algébrique de K, a est donc racine d'au moins un polynôme non nul de K[X].
I(a) n'est donc pas réduit à {0}.
D'après 5.37, il existe un unique polynôme unitaire µ € K[X] tel que I(a) = (µ).

Ce polynôme µ est le polynôme minimal de a, tel que défini en 5.52.
Montrons que µ est l'unique polynôme irréductible unitaire de K[X] annulant a :

µ est un polynôme irréductible unitaire annulant a :

µ est unitaire, annule a, et d'après 5.54 il est irréductible.

µ est le seul polynôme irréductible unitaire annulant a :

Soit µ_1 un polynôme irréductible unitaire tel que µ_1(a) = 0. Montrons que µ_1 = µ :

µ_1 appartient à l'idéal I(a) qui est engendré par µ.
Donc il existe P € K[X] tel que µ_1 = P * µ.

Or, µ_1 est irréductible, donc P ou µ doit être un polynôme constant (non nul, qui plus est).
Ça ne peut pas être µ, c'est donc P qui est constant : P = k (avec k € K*)

Or, µ_1 et µ sont unitaires, donc nécessairement : k = 1.
On en déduit immédiatement que µ_1 = µ.

from mazhe.

Après relecture, je me rends compte que je n'ai peut-être pas été très clair dans ma réponse à la question 15 sur la pseudo-réduction.

Dans la réduction en question, les matrices Q^tAQ et Q^tBQ (qui sont effectivement diagonales) font intervenir la transposée de Q (et non l'inverse de Q).

Ce n'est donc pas une diagonalisation, puisque la matrice A n'est pas semblable à la matrice Q^tAQ (elle l'aurait été si Q était orthogonale).

Dans la démonstration, on peut constater qu'on ne réalise pas une réduction d'endomorphismes (donc pas une véritable diagonalisation), mais plutôt une réduction de formes bilinéaires symétriques (ce qui fait intervenir des transposées, et non des inverses).

C'est à mon avis pour cette raison que l'auteur parle de pseudo-réduction.

from mazhe.

Bien vu, la différence entre transposée et inverse. Ça m'avais échappé. J'ajoute le fait que ce soit une réduction de forme bilinéaire au todo.txt parce que je suis justement en train de revoir la partie sur les matrices et changement de bases dans laquelle il y a justement une remarque concernant le fait que la formule de changement de base d'une matrice vue comme application linéaire ou comme forme bilinéaire n'est pas la même.
C'est en rapport avec ta réponse sur la transposée : en essayant de la taper, j'ai remarqué qu'il y avait des fautes dans les changement de base.

from mazhe.

Je n'oublie pas ... c'est qu'en relisant la proposition 5.96 mentionnée dans la question (6), j'ai remarqué qu'il manquant de nombreuses choses plus haut. Bref, je suis en train de travailler les corps de décomposition et tout ça.
Des choses commencent à être poussées dans la branche alpha

from mazhe.

Ok. Il aura fallu le temps, mais je crois que tous les points soulevés ici sont faits.
Je me permet de fermé le fil.
Ne pas hésiter à réouvrir si j'ai oublié quelque chose.

from mazhe.

Il y a quelques fautes de frappe dans la proposition 5.42 :
Le polynôme µ_a est premier avec tout polynôme de K[X] non annulateur de q.
=> "non annulateur de a"
Et dans la démonstration :
En d’autres termes, soit P soit R_1 est inversible. Si P n’est pas inversible, alors R_1 est inversible ; disons Q = k € K
=>"R_1 = k"

Dans la définition 3.3 :
Soient A un anneau et a, b € A. Nous disons que d est un pgcd de a et b si tout diviseur commun
de a et b divise d.
Il manque la condition "d divise a et b" dans cette définition.

En dehors de ça, tous les points soulevés ont effectivement été réglés.
Il restera juste à supprimer de la liste des questions (chapitre 0.5) celles qui ont eu leur réponse.

Edit : Bon, visiblement, je n'ai pas le pouvoir de rouvrir ce fil...

from mazhe.

Oui, je l'ai fermé un peu par erreur.

from mazhe.