每个投标人最多只能拍得一件商品,每件商品最终必须被拍卖,那么问题为:投标人该如何报价,拍卖行该如何分配商品给投标人,才能使得投标人和拍卖行的综合获益最大。
首先预定义一些基本变量,如下:
$$
N: 投标人数量,此处 N=6
$$
$$
M: 商品数量 M=6
$$
$$
I={i_1,i_2, ..., i_N}: 投标人集合
$$
$$
J={j_1,j_2, ..., j_M}: 商品集合
$$
$$
A(1), A(2), ..., A(N): 投标人感兴趣商品的集合,如果各投标人对所有商品都有兴趣,则有
A(1)=A(2)=A(N)=J
$$
$$
S ={{i_{s1}, j_{s1}}, {i_{s2}, j_{s2}} ... , {i_{st}, j_{st}}}: 表示投标人i对于商品j的分配集合
$$
$$
W = {w_{ij} | i \in I, j\in J}表示投标人i对于商品j的估价集合
$$
$$
P = {p_{ij} | i \in I, j\in J}表示投标人i对于商品j的报价
$$
$$
B = {b_{j} | j\in J}各商品经一轮报价后,确定的竞标价
$$
$$
F = {f_{ij} | i \in I, j\in J} 投标人i是否拍得商品j的合集,是则f_{ij} = 1, 否则f_{ij} = 0
$$
$$
G = {g_{ij} | i \in I, j\in J} 投标人i对商品j的净收益集合
$$
当分配方案为 S 是,投标人总收益为
$$
\sum_{k=s1}^{sT}g_{i_{k}j_{k}} = \sum_{k=s1}^{sT}(w_{i_{k}j_{k}} - p_{i_{k}j_{k}})
$$
每个投标人最多只能拍得一件商品,则有:
$$
\sum_{j\in J}f_{ij} \leq 1, \forall i \in I
$$
每件商品最终必须拍卖,则有:
$$
T = M
$$
结合(1-3)式,可以得到如下的数学规划模型:
$$
max \sum_{k=s1}^{sT}(g_{ikj_{k}})\
st. \sum_{j\in J}f_{ij} \leq 1, \forall i \in I
T = M
$$