线性代数

1. 向量
2. 向量的模（长度）
3. 单位向量 （unit Vector）
4. 标准单位向量

1. 两个向量“相乘”，结果是一个数！（标量）
2. 两个向量相乘，更严格的说法：两个向量的点乘，或两个向量的内积
3. 向量点乘的应用
   • 判断两个向量的夹角。
     • 如果点乘结果 = 0 ,两个向量垂直
     • 如果点乘结果 > 0 ,两个向量夹角为锐角
     • 如果点乘结果 < 0 ,两个向量夹角为钝角
   • 判断两个向量的相似程度（推荐系统）
   • 几何计算中，求投影点的坐标

1. A + B = B + A
2. (A + B) + C = A + (B + C)
3. (ck)A = c(kA)
4. (c+k)A = cA+kA
5. k(A+B) = kA + kB
6. 存在矩阵O,满足：A + O = A
7. 存在矩阵-A,满足：A +（-A）= 0 ，且 -A 唯一

1. 矩阵（系统系数）和向量相乘 A a = b
   • 矩阵A的列数必须和向量a的元素个数相等
   • 矩阵A的行数没有限制
   • 矩阵A实际上将向量a转换成了向量b
   • 可以把矩阵理解成向量的函数
2. 矩阵乘法 A * B = C
   • 矩阵A的列数和矩阵B的行数相等
   • A是m * k的矩阵，B是k * n的矩阵，则结果矩阵是m * n的矩阵
   • 矩阵乘法不遵守交换律，很有可能交换后，不能相乘，即使能相乘，结果也不一样
   • 矩阵乘法遵循
     • (A * B) *C = A * (B * C)
     • A * (B + C) = A * B + A * C
     • (B + C) * A = B * A + C * A
3. 矩阵的幂
   • 矩阵的幂： A^k = A * A ***** A
   • 只有方阵才可以进行矩阵的幂
4. 矩阵的转置
   • 矩阵的转置 - 行变成列，列变成行
   • 矩阵转置的性质
     • A^T^T = A
     • (A+B)^T = A^T+B^T
     • (k * A)^T = k * A^T
     • (A*B)^T = B^T * A^T

1. 主对角线都是1，其它都为0。(相当于数字系统中的1)
   • I * A = A
   • A * I = A
   • I * A = A * I = A

1. 矩阵中 AB = BA = I ，则称B是A的逆矩阵。记做B=A^-1。A称为可逆矩阵，或者叫非奇异矩阵，有些矩阵是不可逆的！称为不可逆矩阵，或者奇异矩阵。
2. (AB)^-1 = B^-1A^-1

1. 看待矩阵的视角（1）：二维数据
2. 看待矩阵的视角（2）：系统
3. 看待矩阵的视角（3）：变换（向量的函数）
4. 看待矩阵的视角（4）：空间

一个方程的左右两边同时乘以一个常数，一个方程加（减）另一个方程。交换矩阵的两行。

曾广矩阵

1. 前向过程（从上到下）
   • 选择最上的主元，化为1
   • 主元下面的所有行减去主元所在行的某个倍数，使得主元下面所有的元素都为0
2. 后向过程（从下到上）
   • 选择最下的主元
   • 主元上面的所有行减去主元所在行的某个倍数，使得主元上面所有的元素都为0

1. 阶梯型矩阵（行最简形式）

   • 非零行的第一个元素（首元）为1
   • 首元所在列的其它元素均为0

2. 线性方程组解的结构

   • 方程组有唯一解 A非零行 = 未知数的个数
   • 方程组有无数解 A非邻行 < 未知数个数

1. 等号右侧的值都为0
2. 肯定有解
3. 非齐次线性方程组

(A|I) -> (I|A^-1) 我们用高斯-约旦求出了右逆，如果一个方针A有右逆B，则B也是A的左逆，即B是A的逆

对单位矩阵进行一次初等变换得到的结果矩阵

矩阵的逆为什么重要？

更关键的是：矩阵的逆和很多重要的命题连接在了一起 这些命题是等价的

• 对于方阵A 线性系统Ax=0只有唯一解，x=0
• 矩阵A可逆，A是非奇异矩阵
• rref(A) = I
• A可以表示成一系列初等矩阵的乘积

以上四个命题，相互等价

将矩阵A分解为 A = LU

L:Lower Triangle Matrix 下三角矩阵 U:Upper Triangle Matrix 上三角矩阵

矩阵的LU分解

• A = L U
• A = L D U
• A = P L U
• A = P L U P'

一组向量，如果两两正交，则成为正交向量组。

正交非零向量组一定线性无关

如果一个空间的一组正交基，模均为1，则称这组基是一组标准正交基。

一个空间的标准正交基也有无数组

标准正交矩阵的重要性质：

• Q^-1 = Q^T 标准正交矩阵的逆，等于它的转置
• Q^T * Q = I

矩阵的QR分解

• A = QR
• R = Q^-1 * A
• R = Q^T * A