曲線と曲面

曲線の方程式

2Dにおいて，

f(x,y) = 0

$f=0$ の特異点とは $\bm{\nabla} f = \bm{0}$となる点．

正則　... 　特異点を持たない

特異点がないなら，$f(x,y)$の曲線を境に正負が分けられる．負となる側を「内部」という．

ex1: $$\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$$

f = \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} -1

とすると，

\bm{\nabla} f = \pmatrix{\frac{2x}{9}\\ \frac{2y}{4} }

よって正則．(2,1)は，f(2,1) = -11/36 <0 で内部．

曲線の法線ベクトル

定理1.1 : f(x,y)の法線ベクトルは $$\bm{\nabla}f$$ である

ex2: y=ax+b

f(x,y) = ax+b-y \\
\bm{\nabla}f = \pmatrix{ a \\ -1}

曲線の接線

接線は内積で　(\bm{nabla}\bar{f} , \bm{x} - \bm{\bar{x}})=0　で表せる．

放物線　y=2x^2+3x -1 の(1,4)における接線方程式は

1. 法線ベクトルは f(x,y) = 2x^2+3x-1-yとして

\bm{\nabla}\bar{f} = \pmatrix{4x+3 \\ -1}_(1,4) = \pmatrix{7\\-1}

なので，接線方程式は

(\pmatrix{7, -1}, \pmatrix{x-1\\y+4}) = 7(x-1)-(y-4)  = 7x-y -3 = 0

曲面の方程式

2次元でなく，3次元で考えても同じ．
法線ベクトルは $$\bm{\nabla}\bar{f}$$であり，接平面は，$$(\bm{\nabla}\bar{f}, \bm{x}-\bm{\bar{x}})=0$$である．

1次形式と2次形式

1次形式

f = (\bm{a}, \bm{x})

2次形式

f = (\bm{x}, \bm{Ax})
Aは対称行列

f=5x^2+6xy+4y^2

\bm{\nabla}f = \pmatrix{ 10x +6y \ 6x+4} = 2\pmatrix{5 & 3\3 & 2}\pmatrix{x\y}
なので A=\pmatrix{5 & 3\3 &2} ．したがって
f = (\pmatrix{x\y}, \pmatrix{5, 3\3,2}\pmatrix{x\y})

2次形式の標準形

固有値と固有ベクトル

\bm{Au} = \lambda \bm{u}

$$\bm{A}$$に対して，$$\bm{u}$$を固有ベクトル，$$\lambda$$を固有値という．
n\times n の$$\bm{A}$$に対して$$\bm{u}$$はn個あり，

\{ \bm{u}_{1} \dots \bm{u}_{n} \} を正規直交系という

\bm{Au} = \lambda \bm{u}

は

(\lambda \bm{\eye} - \bm{A}) \bm{u} = \bm{0}

であり，丸かっこの行列の行列式 $$\det (\lambda \bm{\eye} - \bm{A}) $$について
特性方程式　\det = 0 を解くことで固有ベクトル，正規直交系が求まる．

ex1.23 \bm{A} = \pmatrix{6,2\2,3}

特性方程式は

\det \pmatrix{
\lambda - 6 & 2 \\
2 & \lambda -3
} = 0

2次形式の標準形

\bm{U} = \pmatrix{\bm{u}{1} & \dots & \bm{u}{n}}
とすると，2次形式 (\bm{x}, \bm{Ax})は, \bm{x} = \bm{U x'} であることから

(\bm{x}, \bm{Ax}) = (\bm{U x'}, \bm{A U x'}) = (\bm{x'}, \bm{U^\top A U x'}) = (\bm{x'}, \det{\lambda} \bm{x'})

これを標準形と呼ぶ．x' = U^\top x である．

ex1.25 f=6x^2 + 4xy + 3y^2

f = (\pmatrix{x\y}, \pmatrix{6 & 2\2& 3) \pmatrix{x \y})
\bm{A} = \pmatrix{6 & 2\2&3}について
\bm{A} \pmatrix{\frac{1}{\sqrt{5}-\frac{2}{\sqrt{5}} = 2 \pmatrix{\frac{1}{\sqrt{5}-\frac{2}{\sqrt{5}}
\bm{A} \pmatrix{\frac{2}{\sqrt{5}\frac{1}{\sqrt{5}} = 7 \pmatrix{\frac{2}{\sqrt{5}\ \frac{1}{\sqrt{5}}

であり，\bm{U} = \pmatrix{ \frac{1}{\sqrt{5}} & \frac{2}{\sqrt{5}}
-\frac{2}{\sqrt{5}} & \frac{1}{\sqrt{5}} } , \Sigma = \pmatrix{2 & 0 \ 0 & 7}

\bm{x'} = \bm{U}^\top \bm{x} = \pmatrix{ \frac{1}{\sqrt{5}} & -\frac{2}{\sqrt{5}
\frac{2}{\sqrt{5}} & \frac{1}{\sqrt{5}} } \bm{x}

f = 2x'^2 + 7y'^2

正値対称行列

\bm{A}が正値対称行列（正定値対象行列）　⇔　全ての\lamda > 0
⇔ (\bm{x}, \bm{Ax}) = (\bm{x'}, \bm{\Lambda x'}) > 0
\lambda >0 の数が ランク

＞　でなく　≧　であれば半正値

正値2次形式

正値対称行列を係数とする２次形式を正値２次形式という．

Aが半正値対称行列のとき，２次形式 (\bm{x}, \bm{Ax})　を

最大にする単位ベクトル\bm{x}は，Aの最大固有値に対する固有ベクトルであり，
最大値は最大固有値に等しい

最小にする単位ベクトル\bm{x}は，Aの最小固有値に対する固有ベクトルであり，
最小値は最小固有値に等しい

ex1.27 x^2+y^2=1 のとき，f=6x^2+4xy+3y^2の最大値と最小値は